นายอุดม รัฐอมฤต เปิดเผยว่า ตามที่วุฒิสภา เมื่อวันที่ 26 ธค.65 มีมติเห็นชอบให้ตนดำรงตำแหน่งตุลาการศาลรัฐธรรมนูญ ตนจึงขอประกาศลาออกจากการเป็นพนักงานหรือลูกจ้างของหน่วยงานของรัฐ รัฐวิสาหกิจ หรือราชการส่วนท้องถิ่น หรือกรรมการ หรือที่ปรึกษาของหน่วยงานของรัฐ หรือรัฐวิสาหกิจ รวมทั้งตำแหน่งในห้างหุ้นส่วน บริษัท หรือองค์กรที่ดำเนินการธุรกิจโดยมุ่งหาผลกำไร หรือรายได้มาแบ่งปันกัน หรือเป็นลูกจ้างของบุคคลใด ตั้งแต่วันที่ 3 ม.ค.66 เป็นต้นไป
ทั้งนี้เพื่อให้เป็นไปเจตนารมณ์ของบทบัญญัติแห่งรัฐธรรมนูญ และพระราชบัญญัติประกอบรัฐธรรมนูญว่าด้วยวิธีพิจารณาของศาลรัฐธรรมนูญ พ.ศ.2561 อนึ่ง ที่ประชุมวุฒิสภา ได้มีมติด้วยคะแนนเสียงให้ความเห็นชอบ 200 เสียง ไม่ให้ความเห็นชอบ 2 เสียง ไม่ออกเสียง 6 เสียง ซึ่งถือว่าได้รับความเห็นชอบด้วยคะแนนเสียงไม่น้อยกว่ากึ่งหนึ่งของจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่าที่มีอยู่ของวุฒิสภา คือไม่น้อยกว่า 125 คะแนน จึงเป็นผู้ได้รับความเห็นชอบให้ดำรงตำแหน่งตุลาการศาลรัฐธรรมนูญ ซึ่งขั้นตอนจากนี้ประธานวุฒิสภาจะได้นำรายชื่อขึ้นทูลเกล้าฯ ต่อไป
สำหรับนายอุดม เป็นอดีตคณบดีคณะนิติศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์, รองอธิการบดีมหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์, อดีตกรรมการร่างรัฐธรรมนูญ (กรธ.) ฉบับปี 2560 รวมทั้งอดีตกรรมการตุลาการศาลปกครองผู้ทรงคุณวุฒิ